2016-2017第一学期常微分方程期中考试

一、解下列微分方程

(1)x(y-x)y'=y^2.

(2)y'=-2xy+2x.

(3)(3x^2y+2xy+y^3)\mathrm{d}x+(x^2+y^2)\mathrm{d}y=0.

(4)y'(x-\ln y')=1.

二、已知f(x,y)=x\sqrt{|y|},证明:

(1)f(x,y)在区域\{-1<x<1,-\infty <y<+ \infty\}内对y不满足局部Lipschitz条件;

(2)f(x,y)在区域\{-1<x<1,0<y<+\infty\}内对y满足局部Lipschitz条件,但不满足Lipschitz条件.

三、设方程\displaystyle M(x,y)\mathrm{d}x+N(x,y)\mathrm{d}y=0 \qquad (1)中的M(x,y),N(x,y)连续可微且满足关系\displaystyle \dfrac{\partial M}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x}=Nf(x)-Mg(y), 其中f(x),g(y)分别为x,y的连续函数,证明方程(1)有积分因子\displaystyle \mu =\mathrm{exp}\bigg(\int f(x)\mathrm{d}x+\int g(y)\mathrm{d}y\bigg).

四、证明方程\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\cos y}{e^x+y^2}的每一个解的最大存在区间都是(-\infty , +\infty).

五、设f_1(x,y),f_2(x,y)在区域R:|x|\leqslant a,|y|\leqslant b连续可微,且满足\displaystyle f_1(x,y)<f_2(x,y),\forall (x,y) \in R.证明:若\varphi_1(x),\varphi_2(x)是方程y'=f_1(x,y),y'=f_2(x,y)过初值(0,0)的解,则当0< x \leqslant h时有\varphi_1(x)<\varphi_2(x).其中h=\min\{a,\dfrac{b}{M_1},\dfrac{b}{M_2}\}M_i=\mathop{\max}\limits_{(x,y)\in R}|f_i(x,y)|(i=1,2).