2017-2018第一学期数理方程期末考试

一、求解热传导方程的Cauchy问题

\begin{cases}\dfrac{\partial u}{\partial t}-a^2\Delta u = f(x,t)\quad t>0 \\u(x,t)|_{t=0}=\varphi(x)\end{cases}

二、用能量积分的方法证明以下波动方程Cauchy问题解的唯一性,其中n=2.

\begin{cases}\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\Delta_2u=f(x,t)\quad t>0 \\u(x,t)|_{t=0}=g_0(x) \\u_t(x,t)|_{t=0}=g_1(x)\end{cases}

三、用傅里叶方法求解弦振动方程的初边值问题

\begin{cases}\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}=f(x,t)\quad t>0 \\u(x,t)|_{t=0}=g_0(x) \\u_t(x,t)|_{t=0}=g_1(x) \\u(0,t)=u(l,t)=0\end{cases}

四、(1)叙述并证明调和函数的极值原理;(2)利用极值原理证明以下Dirichlet问题的唯一性和稳定性

\begin{cases}\Delta u=0\quad in\ \ \Omega \\u|_{\partial\Omega}=f\end{cases}

五、证明 L_{loc}(\Omega) \subset D^{'}(\Omega).

六、求算子P(D)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}+a,a \in \mathbb{R}的基本解.

七、证明若f(x)是急减函数,则f(x)\in L^{p}(\mathbb{R}^n),其中1<p<\infty.