2016-2017第一学期抽象代数期末考试

一、若环R的任意非零元a都满足a^2=a,证明:R是交换环.

二、写出\mathbb{Z}_6的所有理想.

三、写出\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]的所有单位.

四、写出\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt{5})\mathbb{Q}下的基.

五、设\displaystyle R=\Bigg\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\0&c\end{array}\right)\in F^{2\times 2}\Bigg|a,b,c\in F \Bigg\},I=\Bigg\{\left(\begin{array}{cc}0&b\\0&c\end{array}\right)\in F^{2\times 2}\Bigg|b,c\in F \Bigg\} 其中F是数域. 证明:RF^{2\times 2}的子环,IR的极大理想.

六、设f(x)=x^3+2x+3,g(x)=x^3+x. (1)在\mathbb{Q}上分解f(x),g(x)并写出最大公因式. (2)在\mathbb{Z}_5上分解f(x),g(x)并写出最大公因式.

七、设\alpha是方程x^3-3x+4=0的根,写出1+\alpha\mathbb{Q}(\alpha)上形如a\alpha^2+b\alpha+c的逆元.

八、设R=\bigg\{\dfrac{m}{n}\bigg|m,n\in \mathbb{Z},(n,p)=1\bigg\}. (1)证明R是整环,并求R的分式域. (2)证明R是主理想整环.

九、设KF的扩域,u \in KF上的代数元,且\deg(u,F)为奇数,证明:F(u^2)=F(u).