2016-2017第一学期抽象代数期中考试

一、判断题

(\quad)1.在\mathbb{R}中,关系x\sim y\Longleftrightarrow |x-y|\leqslant 2是等价关系.

(\quad)2.\mathbb{R}关于运算a\ast b=a+b-ab构成幺半群.

(\quad)3.半群G是群当且仅当满足左右消去率.

(\quad)4.若有限群G的任何真子群都是循环群,则G是循环群.

(\quad)5.若G按代表元分类可表示为a_1H\cup a_2H\cup \cdots \cup a_nH=Ha_1 \cup Ha_2 \cup \cdots \cup Ha_n,则H \triangleleft G.

二、填空题

1.设a为2阶元,b为3阶元,ab=ba,则ab是____阶元.

2.6阶循环群有____ 个子群.写出Z_6的所有子群____.

3.设\sigma =(134)(57)\tau =(327)(26)(14),则\sigma \tau \sigma^{-1}=____,\tau可写为不相交的轮换之积____,\tau的阶数是____.

4.写出Z_{12}的所有生成元____.

5.设f:\{\mathbb{R};+\}\rightarrow \{\mathbb{C}^\ast;\cdot\}f(x)=\cos x+\sqrt{-1}\sin x,\forall x \in \mathbb{R},则\ker f=____.

6.凯莱(Cayley)定理中,任何一个群都与一个____同构.

7.叙述群同态基本定理____.

三、群G(|G|>2)中的任意元素x满足x^2=e,证明G必有4阶子群.

四、设H,K是乘法群G的两个子群,定义HK=\{hk|h\in H,k\in K\},证明

(1)HKG的子群当且仅当HK=KH.

(2)若H,K均是G的正规子群,则HK\triangleleft G.

(3)|HK|=|H||K|/|H\cap K|.

五、设N\triangleleft G,若N<H \triangleleft G\Longrightarrow N=H,则称N是G的极大正规子群.证明:若NG的极大正规子群,则G/N必为单群.