2015-2016第一学期高等代数2-1期末考试

一.[此处省略三个平面的方程(没记住)]讨论:(1)何时相交于一点,并求出该点的坐标;(2)何时相交于一条直线,并求出该直线的方程;(3)何时三个平面两两相交并且交线平行.

二.[此处省略两组直线方程,每组有两条直线(没记住)](1)判断第一组的两条直线共面还是异面,若异面则求出两直线的公垂线,若共面则求出平面方程;(2)同上,对第二组进行判断.

三.求行列式

\left|\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a \end{array}\right|

四.求点(2,4,3)在直线x=y=z上的投影点及到直线的距离.

五.已知A+B=2E\displaystyle B^*=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), 求矩阵X使得AX=B.

六.已知矩阵\displaystyle \left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right), 其中A可逆.求证:

rank(A)+rank(D-CA^{-1}B)=rank\left(\begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\right).

七.已知a,b,c不共面.求证:\displaystyle r=\frac{(r,b,c)}{(a,b,c)}a+\frac{(r,c,a)}{(a,b,c)}b+\frac{(r,a,b)}{(a,b,c)}c.

八.证明:设m\times n矩阵A的秩为r,则有m \times r的列满秩矩阵Pr \times n的行满秩矩阵Q,使A=PQ.