2015-2016第二学期高等代数2-2期末考试

一、已知曲面2xy+2xz+2yz=1.用第一类正交变换将该曲面化为标准型,并指出曲面类型.

二、已知An \times n的实对称矩阵.证明:对任意的列向量\alpha都有一个正常数c使得{|\alpha}^{'}A\alpha| \leqslant c{\alpha}^{'}\alpha.

三、求矩阵

\left(\begin{array}{ccc}4 & 6 & -15 \\ 1 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & -4\end{array}\right)

的若尔当标准型.

四、设An阶非零实对称矩阵,记\mathbb{R}^n的两个子空间为U=\{X \in \mathbb{R}^n \big| AX=0\},V=\{AX \big| X \in \mathbb{R}^n\}.证明:UV\mathbb{R}^n的正交补空间.

五、设A为一个n阶复方阵,A的特征多项式f(\lambda)=(\lambda-{\lambda}_1)^{r_1}(\lambda-{\lambda}_2)^{r_2}\cdots(\lambda-{\lambda}_s)^{r_s},其中{\lambda}_1,{\lambda}_2,\cdots,{\lambda}_s互不相同.证明:A的若尔当标准型中以{\lambda}_i为对角元的若尔当块的个数等于V_{\lambda_i}的维数.

六、已知\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m为欧氏空间的两组向量.证明:若(\alpha_i,\alpha_j)=(\beta_i,\beta_j)(i,j=1,2,\ldots,m),则子空间V_1=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m )V_2=L(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_m)同构.

七、设A,Bn \times n实对称矩阵,A正定.证明:AB相似于对角矩阵.又若B也正定,则AB的特征值为正实数.