2016-2017第一学期复变函数期末考试

一、求\displaystyle \int_{C}\dfrac{2z^2-z+1}{(z-1)(z-3)},其中C:|z|=2.

二、f(w)\{w|1<|w|<+\infty\}内解析,证明:\displaystyle \int_{C}f(\dfrac{1}{z^2})\mathrm{d}z=0.

三、将\dfrac{1}{z(z-1)}\infty处洛朗展开,并判断奇点类型(1<|z|<+\infty).

四、证明:f(z)z_0n阶极点\Longleftrightarrow存在\varphi(z)=(z-z_0)^nf(z).

五、

(1)写出f(z)f'(z)在邻域B_2(0)的柯西积分公式.

(2)已知|f'(z)|\leqslant 2M,若f(z)\leqslant M\forall z \in \partial B_2(0),证明f'(z)\leqslant 2M\forall z \in B_1(0).

(3)f'(z)B_2(0)有界还是无界?

六、已知f(z)的零点和极点都在邻域B_1(0)中.

(1)写出f(z)B_1(0)上的幅角原理.

(2)证明N(f+g,B_1(0))-P(f+g,B_1(0))=N(f,B_1(0))-P(f,B_1(0)).

(3)\sqrt[n]{f(z)}不以\infty为支点,则nN(f,B_1(0))-P(f,B_1(0))有什么关系?