2017-2018第一学期泛函分析期末考试

一、设c_{00}是有限项不为0的数列的全体,证明c_{00}可分.

二、f是Banach空间E上的有界线性泛函,当ker(f)=\{x\in E:f(x)=0\}为闭子空间时,证明f有界.

三、T(x)=\{\alpha_n\xi_n\}\in l^1\{\alpha_n\}是有界数列,x=\{\xi_n\}\in l^1.证明:(1)\|T\|\leqslant \sup\{|\alpha_n|\};(2)若T^{-1}存在且有界,证明\inf|\alpha_n|>0.

四、LX的闭子空间,x_0 \notin LL_0=\{\alpha x_0+y:\alpha \in \mathbb{R},y\in L \}.证明L_0X的闭子空间.

五、(1)叙述谱与特征值的定义;(2)Tx=\{\eta_n\},x=\{\xi_n\}.其中\eta_0=0,\eta_k=-\xi_k(k\geqslant2).证明T不存在特征值.

六、设H是实内积空间,(e_i,e_j)=0(i\neq j).证明:\|e_1+e_2+e_3\|^2=\|e_1\|^2+\|e_2\|^2+\|e_3\|^2.

七、H是Hilbert空间,x_n,x_0\in H,\|x_n\|\rightarrow\|x_0\|,(x_n,x_0)\rightarrow(x_0,x_0).证明x_n\rightarrow x_0.