2015-2016第一学期数学分析3-1期末考试

一.(1)求极限:\displaystyle\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{\pi}{2}-\arctan x)^{\frac{1}{\ln x}}

(2)已知f(x)连续可导,且有f'(0)=0,f''(0)存在,求\displaystyle \lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(\sin x)}{x^4}.

二.定义在[0,2]上的函数f(x)满足f(0)=f(2),|f''(x)|\leq1,f(x)三次可微.证明\exists \xi \in[0,2]使得|f'''(\xi)|\leq \sqrt 3.

三.用区间套定理证明确界原理.

四.已知\displaystyle f(x)=\sqrt[3]{\frac{x^2\ln x}{x+1}}.判断f(x)(0,+\infty)的一致连续性.

五.用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界定理.

六.设f(x)[0,1]上可微,f(0)=0,对任何x\in(0,1),f(x)\neq0.证明 \forall n\in\mathbf{N}^* ,\exists \xi_n \in(0,1),使得

\frac{nf'(\xi_n)}{f(\xi_n)}=\frac{f'(1-\xi_n)}{f(1-\xi_n)}