2015-2016第二学期数学分析3-2期中考试

一、计算下列极限.

(1)\displaystyle \lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}(x+y)\sin\frac{1}{x^2+y^2}\quad(2)\displaystyle \lim\limits_{(x,y)\to (1,2)}\frac{1}{2x-y}

二、计算下列积分.

(1)\displaystyle \int_{1}^{e}(x\ln x)^2\mathrm{d}x\quad(2)\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\mathrm{d}x

三、已知{a_n}\in [a,b],\lim\limits_{n \to \infty}a_n=c,\{a_n\}f[a,b]上仅有的间断点,求证f[a,b]上可积.

四、设f(x)[0,1]上连续可微且f(0)=f(1)=0.证明对所有t \in [0,1],都有\displaystyle f^2(t)\leqslant \frac{1}{4}\int_{0}^{1}[f'(x)]^2\mathrm{d}x.

五、证明\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty}\int_{\sqrt{n}}^{n}\frac{\sin x^2}{x}\mathrm{d}x=0.

六、讨论

f(x)=\left\{\begin{aligned}\frac{x}{(x^2+y^2)^p}&,&x^2+y^2 \neq 0 \\ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ &,&x^2+y^2 =0 \end{aligned}\right.(p>0)

在点(0,0)处的连续性.

总结

这份试卷是今天(2016-4-6)上午考的,拿到试卷时,大致翻了下,只看到了一道和去年一样的题,先是心里一紧,不过再看到几道平时似曾相识的题,略微舒了一口气。

简要说说我对这些题的感受吧。

1.第(1)问中规中矩;第(2)问有点懵逼,当时想的是:这也能写?

2.第(1)问中规中矩;第(2)问是我这次考试的重大败笔,居然没有做出来,其实就是书上的原题还拿来当过作业,用一个简单的换元积分即可秒杀,以前做作业时一下就做出来了,考试时啥也没想到,就随便写了点上去,唉。

3.去年的原题,课上其实也讲过,思路很简单,就是分成两个部分,一个部分只有有限个间断点,另一个区间长度非常小。

4.课后习题B组18题原题,之前没做过。考试时用Cauchy-Schwarz不等式证了出来,关键是要把平方下补个绝对值,分成0到t和t到1的积分,并且分别配上\displaystyle \int_{0}^{t}1^2\mathrm{d}x\displaystyle \int_{t}^{1}1^2\mathrm{d}x,之后用不等式即可证得。虽然侥幸写了出来,不过考试时写得挺快,也不清楚老师会给多少分。

5.此题类似课后习题A组18题(1),习题答案好像用的是分部积分做的,我考试时比较慌乱,忙中用了两次积分第一中值定理证明,事实上好像不怎么对。

6.此题比较水,放在最后一题大概是来水我们的吧,总之把x,y换作r\cos\thetar\sin\theta,然后就成了关于r的一元讨论。

总的来说,题偏简单,然而我的状态很差,所以考得也不怎么样。一些学过的知识没能把握住,一些讲过的方法没能运用上,上了大学,又一次感受到那种知识差距的无奈。

不过,无论如何,都不应该放弃,下周的高代加油,下半学期加油!

吐槽一下:这学期杂事儿也太多了吧,计算机的大作业够吐槽了,结果还有这么多E类课作业,部门也是好多好多的杂事,然后还有什么被拉去的长跑和合唱活动,如果再算上打乒乓球来放松自己、跑跑步来锻炼自己,写点博文总结一下自己,以及学点计算机知识来给自己充充电,我的闲余时间还有什么?估计成负的了吧。学习和这些东西的平衡点,太难找。