2016-2017第一学期数学分析3-3期末考试

一、计算\displaystyle \int_{L} (x^2-2xy)\mathrm{d}x+(y-2x)\mathrm{d}y.其中L是曲线y=x^3由(1,1)到(0,0)的路径.

二、计算\displaystyle \iint_{S}(x^2+2y^2+3z^2)\mathrm{d}S.其中S:x^2+y^2+z^2=a^2(a>0).

三、写出f(x)=\cos^2x,g(x)=\sin x^2x_0=0处的幂级数.

四、写出\dfrac{[2^n+(-1)^n]^n}{3^n}x^n的收敛区间,并求其和函数.

五、讨论\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\cos x^p的收敛性.(p>0)

六、证明\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}xe^{-nx}(0,+\infty)内闭一致收敛但非一致收敛.

七、已知\displaystyle f(x)=\begin{cases}x&,&0\leqslant x\leqslant\pi\\0&,&-\pi\leqslant x<0\end{cases}写出f(x)的傅里叶级数并求其和函数.

八、证明\displaystyle F(y)=\int_{0}^{+\infty}e^{-x^y}(0,+\infty)连续.

九、已知\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n_{_k}+1}+\cdots+a_{n_{_{k+1}}})收敛,M_k=\max\limits_{p\leqslant n_{_{k+1}}-n_k}|a_{n_{_k}+1}+\cdots+a_{n_{_k}+p}|. 证明:\displaystyle \lim\limits_{k\rightarrow\infty}M_k=0 \Longleftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty}a_n收敛.