2016-2017第一学期数学分析3-3期中考试

一、计算下列积分

(1)\displaystyle \int_{L}\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}sL:x^2+y^2=ax.

(2)\displaystyle \int_{0}^{+\infty}e^{-ax}\cos bx \mathrm{d}x\quad (a>0).

二、判断下列级数的收敛性

(1)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^nn!}{n^n}.

(2)\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigg(\frac{1}{n}-\ln (1+\frac{1}{n})\bigg).

三、S是锥面z=\sqrt{x^2+y^2}在圆柱x^2+y^2\leqslant 2x内的部分,求\displaystyle \iint_{S}z\mathrm{d}S.

四、判断级数\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n}{\sqrt[n]{2}(n+1)}的敛散性.

五、设D\mathbb{R}^2上带有逐段光滑边界的有界闭区域,\Delta =\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}为拉普拉斯算子.若u\in C^2(D),v \in C^1(D)\dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}}表示u沿\partial D关于区域D的外法向量导数,求证

\iint_{D}v\Delta u\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\iint_{D}\bigg(\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial y}\bigg)\mathrm{d}x\mathrm{d}y+\int_{\partial D}v \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}\mathrm{d}s.

六、\vec{F}(x,y,z)=f(r)\vec{r},其中r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}(r\neq 0)\vec{r}=(x,y,z),证明\displaystyle \int_{L}\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}与路径无关.

七、\displaystyle \int_{a}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x收敛,\dfrac{f(x)}{x}[a,+\infty)上单调递减趋于0.证明\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}xf(x)=0.

八、记p_n表示第n个素数.证明\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{p_n}}=+\infty.