2016-2017第二学期概率论期末考试

一、(1)求泊松分布P(\lambda)的方差和母函数;

(2)求正态分布N(\mu,\sigma^2)的期望和特征函数.

二、若\xi\eta相互独立,且分别服从\Gamma(r_1,\lambda)\Gamma(r_2,\lambda),试求\alpha = \xi + \eta\beta = \dfrac{\xi}{\xi+\eta}的联合密度函数q(u,v),并证明\alpha\beta独立.

三、(1)X,Y服从均匀分布U[0,1],求Z=X+Y的分布;

(2)\xi,\eta服从正态分布N(0,1),求\zeta = \xi - \eta的分布.

四、(1)叙述两随机变量不相关和独立的定义;

(2)举出不相关但不独立的例子;

(3)设随机变量\xi\xi独立,证明\exists C > 0,使得P\{\xi = C\} = 1.

五、(1)叙述大数定理的定义;

(2)证明Chebyshev不等式;

(3)设\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_n,\cdots是两两不相关的随机变量序列,且\exists C > 0,使得D\xi_i\leqslant C(i=1,2,\ldots),证明\{\xi_i\}服从大数定律.

六、(1)叙述弱收敛的定义;

(2)设f(x)[a,b]上的连续函数,又\{F_n(x)\}是在[a,b]上弱收敛于函数F(x)的一致有界非降函数序列,且abF(x)的连续点,证明

\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}F_n(x) = \int_{a}^{b}f(x)\mathrm{d}F(x).