2016-2017第二学期实变函数期末考试

一、证明所有“有理抛物线”y=ax^2+bx+c(a,b,c \in \mathbb{Q}, a\neq 0)组成的集合X是可数集.

二、设可测集A\subseteq [0,1]B \subseteq [1,2],证明m(A\bigcup B) = m(A) + m(B).

三、f,g是集合E上的可测函数,\forall p,q\in \mathbb{R},集合E_{pq} = \{x\in E:f(x)>p>q>g(x)\}为零测集,证明f(x) \stackrel{a.e}{\leqslant}g(x).

四、若在E上有f_n \stackrel{m}{\longrightarrow}ff_n \stackrel{a.e}{=} g_n,证明g_n \stackrel{m}{\longrightarrow}f.

五、定义在[0,1]上的函数\displaystyle f(x)=\begin{cases}x\sin x^2,x\in \mathbb{Q}\bigcap[0,1]\\ \dfrac{x+1}{\sqrt{x}},x \in \mathbb{Q}^c\bigcap[0,1]\end{cases}计算积分\displaystyle \int_{[0,1]}f\mathrm{d}m.

六、f(x)(0,+\infty)Lebesgue可积,求\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\displaystyle \int_{(0,+\infty)}\dfrac{f(x)}{1+nx}\mathrm{d}m.

七、f(x)=x^2\sin \dfrac{1}{x}是定义在[0,1]上的函数,f(0)=0,证明f(x)[0,1]绝对连续.

八、定义在[a,b]上的有界变差函数f满足\bigvee\limits_a^b(f)<1,且f_n逐点收敛到f,证明f_n也是有界变差函数.